लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म क्या है? फॉर्मूला, गुण, शर्तें और अनुप्रयोग

गणित के व्यवहार और काम को समझने के लिए एक निर्णायक भूमिका निभाता है विद्युतीय तथा इलेक्ट्रॉनिक सिस्टम । बहुपद, बीजगणित, प्रायिकता, एकीकरण और विभेदन आदि ... सिस्टम को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरणों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। प्रणालियों की बढ़ती जटिलता के साथ, बहुत परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है। नियंत्रण प्रणाली को परिभाषित करने के लिए विभेदक समीकरणों का प्रमुखता से उपयोग किया जाता है। ये समीकरण हल करने में सरल हैं। लेकिन उच्चतर क्रम अंतर समीकरणों को हल करते समय जटिलता उत्पन्न होती है। ऐसे जटिल उच्च क्रम अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, गणितीय पद्धति जो प्रभावी साबित हुई है लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म । जैसा कि यह परिवर्तन व्यापक रूप से नियोजित है, यह जानना उपयोगी है कि वे वास्तव में क्या चाहते थे और वे कैसे काम करते हैं।

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म क्या है?

गणित में, समीकरण को संभालने के लिए आसान बनाने के लिए एक चर को दूसरे रूप में बदलने के लिए ट्रांसफ़ॉर्म लागू होते हैं। लाप्लास बहुत कुछ बदल देता है वही काम करता है। वे उच्च क्रम अंतर समीकरण को एक बहुपद रूप में बदलते हैं जो सीधे अंतर समीकरण को हल करने की तुलना में बहुत आसान है।

लेकिन फूरियर ट्रांसफॉर्म जैसे कई ट्रांसफॉर्मेशन हैं, z ट्रांसफॉर्म क्या लैपलैस ट्रांसफॉर्म को खास बनाता है? लाप्लास परिवर्तन का मुख्य लाभ यह है कि, उन्हें स्थिर और अस्थिर दोनों प्रणालियों के लिए परिभाषित किया जाता है जबकि फूरियर रूपांतरण केवल स्थिर प्रणालियों के लिए परिभाषित किया जाता है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म फॉर्मूला

फ़ंक्शन डोमेन (t) का एक लाप्लास समय डोमेन में रूपांतरण, जहाँ t वास्तविक संख्या शून्य से अधिक या उसके बराबर है, उसे F (s) के रूप में दिया जाता है, जहाँ पर s आवृत्ति डोमेन में जटिल संख्या है .i.e s = ω + jω
उपरोक्त समीकरण को माना जाता है एक तरफा लाप्लास समीकरण समीकरण । जब सीमाओं को पूरे वास्तविक अक्ष तक बढ़ाया जाता है तब द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
जैसे व्यावहारिक सर्किट में आरसी और आरएल सर्किट आमतौर पर, प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग किया जाता है, इसलिए विश्लेषण के उद्देश्य के लिए एक तरफा लाप्लास परिवर्तन लागू किए जाते हैं।
जैसा कि s = σ + jω, जब = = 0 लाप्लास रूपांतरित होता है, तो फूरियर रूपांतरण के रूप में व्यवहार करता है।

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म फॉर्मूला

लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन की प्रयोज्यता के लिए शर्तें

लाप्लास ट्रांसफॉर्म को इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म कहा जाता है इसलिए इन ट्रांसफॉर्म के कन्वर्जन के लिए आवश्यक शर्तें हैं।
यानी एफ को स्थानीय रूप से अंतराल के लिए पूर्णांक होना चाहिए [0, must) और इस पर निर्भर करता है कि, सकारात्मक है या नकारात्मक, e ^ (- )t) का क्षय या बढ़ रहा है। द्विपक्षीय लाप्लास के लिए एकल मान के बजाय रूपांतरण अभिसरण क्षेत्र के रूप में ज्ञात मूल्यों की एक निश्चित सीमा से अधिक अभिसरण करता है।

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म के गुण:

रैखिकता

रैखिकता

समय बदलता है

समय बदलता है

S- डोमेन में शिफ्ट करें

S- डोमेन में शिफ्ट करें

समय-उत्क्रमण

समय-उत्क्रमण

एस-डोमेन में अंतर

एस-डोमेन में अंतर

समय में बातचीत

समय में बातचीत

प्रारंभिक मूल्य प्रमेय

प्रारंभिक मान प्रमेय तब लागू किया जाता है जब लाप्लास में अंश का अंश परिवर्तित होता है और हर की डिग्री से कम होता है अंतिम मूल्य प्रमेय:

यदि s-s के सभी ध्रुव S- समतल अंतिम मान प्रमेय के बाएं आधे भाग में स्थित हैं।

उलटा लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म

अभिसरण विशेषता के कारण लाप्लास परिवर्तन में एक व्युत्क्रम परिवर्तन भी होता है। लाप्लास एक फ़ंक्शन स्पेस से दूसरे में एक-से-एक मैपिंग प्रदर्शित करता है। उलटा लाप्लास परिवर्तन का सूत्र है

लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म की गणना कैसे करें?

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्मेशन समीकरणों को संभालना आसान बनाता है। जब एक उच्च क्रम अंतर समीकरण दिया जाता है, तो लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म को उस पर लागू किया जाता है जो समीकरण को बीजगणितीय समीकरण में परिवर्तित करता है, इस प्रकार इसे संभालना आसान हो जाता है। फिर हम इस बीजगणितीय समीकरण के सरलीकरण द्वारा जड़ों की गणना करते हैं। अब उलटा लाप्लास सरल अभिव्यक्ति का परिवर्तन पाया जाता है जो दिए गए उच्च क्रम के अंतर समीकरण को हल करता है।

लाप्लास रूपांतरण गणना

लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन के अनुप्रयोग

• विद्युत और का विश्लेषण विद्युत सर्किट ।
• सरल बहुपद रूपों में जटिल अंतर समीकरणों को तोड़ना।
• लाप्लास परिवर्तन स्थिर और साथ ही क्षणिक राज्यों के बारे में जानकारी देता है।
• मशीन लर्निंग में, लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्मेशन का उपयोग पूर्वानुमान बनाने और डेटा माइनिंग में विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
• लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन सिस्टम मॉडलिंग में गणना को सरल बनाता है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन का अनुप्रयोग

लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म को अक्सर सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए चुना जाता है। फूरियर रूपांतरण के साथ, ए लाप्लास परिवर्तन आवृत्ति डोमेन में संकेतों का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है। जब फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सिग्नल में छोटी-छोटी आवृत्तियाँ होती हैं, तो कोई भी समय डोमेन में सिग्नल के सुचारू होने की उम्मीद कर सकता है। सिग्नल को फ़िल्टर करना आमतौर पर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में किया जाता है, जिसके लिए लाप्लास समय डोमेन से फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सिग्नल को परिवर्तित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में कार्य करता है।

नियंत्रण प्रणाली में लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन का अनुप्रयोग

नियंत्रण प्रणाली आमतौर पर अन्य उपकरणों के व्यवहार को नियंत्रित करने के लिए डिज़ाइन की जाती है। इसका उदाहरण नियंत्रण प्रणाली एक साधारण घरेलू ताप नियंत्रक से लेकर औद्योगिक नियंत्रण प्रणाली तक मशीनरी के व्यवहार को नियंत्रित करता है।

आम तौर पर, नियंत्रण इंजीनियर विभिन्न बंद लूप कार्यात्मक ब्लॉकों के व्यवहार का वर्णन करने के लिए अंतर समीकरणों का उपयोग करते हैं। महत्वपूर्ण चर जानकारी के नुकसान के बिना इन समीकरणों को हल करने के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग यहां किया जाता है।

लैप्लस ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके रैखिक समय-अनैच्छिक प्रणालियों की विशेषता

सिस्टम से जुड़े एक आकस्मिक प्रणाली आरओसी के लिए, फ़ंक्शन सही आधा विमान है। एक प्रणाली एंटी-कैज़ुअल है अगर उसका आवेग प्रतिक्रिया h (t) = 0 से t> 0 हो।

यदि सिस्टम के आरओसी कार्य H (s) में j then अक्ष शामिल है तो L.T.I. सिस्टम को एक स्थिर सिस्टम कहा जाता है। यदि तर्कसंगत सिस्टम फ़ंक्शंस H (s) के साथ एक आकस्मिक प्रणाली के सभी ध्रुवों के लिए नकारात्मक वास्तविक भाग हैं, तो सिस्टम स्थिर है।

इस प्रकार सर्किट के विश्लेषण में लाप्लास परिवर्तन एक महत्वपूर्ण उपकरण है। हम कह सकते हैं कि स्टेथोस्कोप के रूप में डॉक्टर लाप्लास ट्रांसफॉर्मर इंजीनियर को नियंत्रित करने के लिए हैं। आप क्या मानते हैं कि लाप्लास रूपांतर करता है? किस तरह से वे आपके लिए सहायक थे?