सम का उत्पाद और उत्पाद का योग

सम का उत्पाद और उत्पाद का योग

विहित अभिव्यक्ति के विभिन्न रूपों में उत्पादों (एसओपी) और सम (पीओएस) के उत्पादों का योग शामिल है, द विहित भाव एक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है बूलियन अभिव्यक्ति जिसके पास या तो न्यूनतम अवधि है या अधिकतम अवधि है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास X और Y नाम के दो चर हैं, तो न्यूनतम शब्दों में समाहित अभिव्यक्ति की अभिव्यक्ति XY + X'Y 'होगी, जबकि अधिकतम शब्दों वाली विहित अभिव्यक्ति (X + Y) (X' Y) (X 'Y) होगी ) है। इस आलेख में Sums के उत्पाद और Sums के उत्पाद, SOP और POS के प्रकार, योजनाबद्ध डिज़ाइन और K- मैप के अवलोकन पर चर्चा की गई है।



सम का उत्पाद और उत्पाद का योग

की अवधारणा उत्पादों का योग (SOP) मुख्य रूप से मिन्टरम, एसओपी के प्रकार, के-मैप और एसओपी के योजनाबद्ध डिजाइन शामिल हैं। इसी तरह, रकम (पीओएस) के उत्पाद में मुख्य रूप से शामिल हैं अधिकतम कार्यकाल , के प्रकार रकम का उत्पाद , पीओएस का के-मैप और योजनाबद्ध डिजाइन।


उत्पाद (एसओपी) का एक योग क्या है?

उत्पाद के योग का संक्षिप्त रूप SOP है, और यह एक प्रकार का है बूलियन बीजगणित अभिव्यक्ति। इसमें अलग-अलग उत्पाद इनपुट को एक साथ जोड़ा जा रहा है। आदानों का उत्पाद बूलियन है तार्किक और जबकि योग या जोड़ बूलियन तार्किक है या। उत्पादों की राशि की अवधारणा को समझने से पहले, हमें मिन्टरम की अवधारणा को जानना होगा।





न्यूनतम अवधि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जब इनपुट के न्यूनतम संयोजन उच्च होते हैं तो आउटपुट अधिक होगा। इसका सबसे अच्छा उदाहरण AND गेट है, इसलिए हम कह सकते हैं कि मिनट शब्द AND गेट इनपुट्स के संयोजन हैं। न्यूनतम अवधि की सत्य तालिका नीचे दी गई है।

एक्स



साथ से

न्यूनतम अवधि (एम)

XYYZ '= m0

1

XYYZ = m1

1XYY Z '= m2
11

XYYZ = m3

1

XY’Z '= m4

1

1XY’Z = m5
11

XYZ '= m6

111

XYZ = m7

उपरोक्त तालिका में, X, Y, Z नाम के तीन इनपुट हैं और इन इनपुटों के संयोजन हैं। प्रत्येक संयोजन में एक छोटा सा शब्द है जो m के साथ निर्दिष्ट है।

उत्पाद के योग (SOP) के प्रकार

उत्पादों का योग में उपलब्ध है तीन अलग-अलग रूप जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं।


  • उत्पादों के कैननिकल योग
  • उत्पादों के गैर-कैननिकल योग
  • उत्पादों का न्यूनतम योग

1)। उत्पादों के कैननिकल योग

यह एसओपी का एक सामान्य रूप है, और इसे फ़ंक्शन के minterms को समूहीकृत करने के साथ बनाया जा सकता है, जिसके लिए o / p उच्च या सत्य है, और इसे minterms का योग भी कहा जाता है। विहित एसओपी की अभिव्यक्ति को साइन समन (and) के साथ दर्शाया जाता है, और ब्रैकेट में मिन्टर्स को आउटपुट के सत्य होने पर लिया जाता है। उत्पाद के विहित योग की सत्य तालिका नीचे दिखाई गई है।

एक्स

साथ से

एफ

1

1

11
11

1

1

11

1

1

1
111

उपरोक्त तालिका के लिए, विहित SOP रूप के रूप में लिखा जा सकता है एफ =, (एम 1, एम 2, एम 3, एम 5)
उपरोक्त योग का विस्तार करके हम निम्नलिखित कार्य प्राप्त कर सकते हैं।
एफ = एम 1 + एम 2 + एम 3 + एम 5
उपरोक्त समीकरण में माइन्टर्म्स को प्रतिस्थापित करके हम नीचे की अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं
F = X’YYZ + X’YZ ’+ XYYZ + XY’Z
विहित रूप के उत्पाद शब्द में पूरक और गैर-तारीफ इनपुट दोनों शामिल हैं

२)। उत्पादों के गैर-कैननिकल योग

उत्पाद के गैर-विहित योग में, उत्पाद की शर्तों को सरल किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए उपरोक्त विहित अभिव्यक्ति को लें।
F = X’YYZ + X’YZ ’+ XYYZ + XY’Z
F = X’YYZ + X’Y (Z '+ Z) + XY’Z
यहाँ Z '+ Z = 1 (मानक समारोह)
F = X’YYZ + X’Y (1) + XY’Z
F = X’YYZ + X’Y + XY’Z
यह अभी भी एसओपी के रूप में है, लेकिन यह गैर-विहित रूप है

३)। उत्पादों का न्यूनतम योग

यह उत्पाद के योग की सबसे सरल अभिव्यक्ति है, और यह एक प्रकार का गैर-विहित भी है। इस प्रकार की कैन को बूलियन बीजगणित के साथ सरलीकृत किया जाता है प्रमेयों हालांकि यह बस का उपयोग करके किया जाता है K- मानचित्र (कर्णघट मानचित्र)

यह प्रपत्र इनपुट लाइनों की संख्या के कारण चुना गया है और गेट का उपयोग किया जाता है यह न्यूनतम है। यह कम निर्माण मूल्य के साथ, अपने ठोस आकार, त्वरित गति के कारण लाभदायक है।

आइए विहित फॉर्म फ़ंक्शन और न्यूनतम का एक उदाहरण लें उत्पाद कश्मीर मानचित्र का योग है

एसओपी के-मैप

एसओपी के-मैप

के-मैप पर आधारित इस की अभिव्यक्ति होगी

F = Y’Z + X’Y

उत्पाद के योग का योजनाबद्ध डिजाइन

उत्पाद के योग की अभिव्यक्ति दो-स्तरीय AND-OR डिज़ाइन निष्पादित करती है, और इस डिज़ाइन के लिए AND गेट्स और एक OR गेट के संग्रह की आवश्यकता होती है। उत्पाद के योग की प्रत्येक अभिव्यक्ति में समान डिजाइनिंग है।

एसओपी का योजनाबद्ध डिजाइन

एसओपी का योजनाबद्ध डिजाइन

आदानों की संख्या और AND गेट की संख्या उस अभिव्यक्ति पर निर्भर करती है जिस पर वह अमल कर रहा है। AND-OR गेट्स का उपयोग करके उत्पाद और विहित अभिव्यक्ति की न्यूनतम राशि के लिए डिज़ाइन ऊपर दिखाया गया है।

Sum (POS) का एक उत्पाद क्या है?

योग के उत्पाद का संक्षिप्त रूप पीओएस है, और यह बूलियन बीजगणित अभिव्यक्ति का एक प्रकार है। इसमें, यह एक ऐसा रूप है जिसमें प्रसार के योग के उत्पादों को लिया जाता है, जो अंकगणितीय परिणाम और योग नहीं होते हैं, हालांकि वे तार्किक बूलियन और या इसके अनुरूप हैं। योग के उत्पाद की अवधारणा को समझने से पहले, हमें अधिकतम शब्द की अवधारणा को जानना होगा।

मैक्सिमम को एक ऐसे शब्द के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो अधिक से अधिक इनपुट संयोजनों के लिए सही है अन्यथा एकल इनपुट संयोजनों के लिए गलत है। क्योंकि OR गेट भी केवल एक इनपुट संयोजन के लिए गलत प्रदान करता है। इस प्रकार मैक्स शब्द किसी भी पूरक या गैर-पूरक इनपुट का OR है।

एक्स

साथ से अधिकतम अवधि (एम)

एक्स + वाई + जेड = एम ०

1

एक्स + वाई + जेड '= एम 1

1X + Y '+ Z = M2
11

X + Y '+ Z' = M3

1

X '+ Y + Z = M4
11

X '+ Y + Z' = M5

1

1X '+ Y' + Z = M6
111

X '+ Y' + Z '= M7

उपरोक्त तालिका में, X, Y, Z नाम के तीन इनपुट हैं और इन इनपुट के संयोजन हैं। 8. प्रत्येक संयोजन में एक अधिकतम शब्द है जो एम के साथ निर्दिष्ट है।

अधिकतम अवधि में, हर इनपुट को पूरक किया जाता है क्योंकि यह केवल while 0 'प्रदान करता है, जबकि कथित संयोजन लागू होता है और मिन्टरम का पूरक एक अधिकतम शब्द है।
एम 3 = एम 3 '
(XYYZ) '= M3
X + Y '+ Z' = M3 (डी मॉर्गन का नियम)

रकम के उत्पाद (पीओएस)

योग के उत्पाद को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं।

  • Sums के Canonical उत्पाद
  • गैर - Canon के उत्पाद
  • रकम का न्यूनतम उत्पाद

1)। योग का कैनन उत्पाद

कैनोनिकल पीओएस को अधिकतम अवधि के उत्पाद के रूप में भी नामित किया गया है। ये हैं और संयुक्त रूप से जिसके लिए ओ / पी कम या गलत है। यह अभिव्यक्ति ∏ द्वारा निरूपित की जाती है और ब्रैकेट में अधिकतम शब्द तब लिया जाता है जब आउटपुट झूठा होता है। राशि के विहित उत्पाद की सत्य तालिका नीचे दिखाई गई है।

एक्स

साथ से एफ

11
1

1

111
1

11

1

1

1
111

उपरोक्त तालिका के लिए, विहित POS के रूप में लिखा जा सकता है एफ = 6 (एम 0, एम 4, एम 6, एम 7)
उपरोक्त समीकरण का विस्तार करके हम निम्नलिखित फ़ंक्शन प्राप्त कर सकते हैं।
एफ = एम 0, एम 4, एम 6, एम 7
उपरोक्त समीकरण में अधिकतम शब्दों को प्रतिस्थापित करके हम नीचे की अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं
F = (X + Y + Z) (X '+ Y + Z) (X' + Y '+ Z) (X' + Y '+ Z)
विहित रूप के उत्पाद शब्द में पूरक और गैर-तारीफ इनपुट दोनों शामिल हैं

२)। गैर - योग के Canonical उत्पाद

की अभिव्यक्ति राशि का उत्पाद (POS) सामान्य रूप में नहीं है को गैर-विहित रूप के रूप में नामित किया गया है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्ति को लें
F = (X + Y + Z) (X '+ Y + Z) (X' + Y '+ Z) (X' + Y '+ Z)
F = (Y + Z) (X '+ Y + Z) (X' + Y '+ Z')
इसी तरह हालांकि उलट शब्द दो अधिकतम शब्दों और रूपों से हटा दें केवल यह दिखाने के लिए कि यह एक उदाहरण है।
= (X + Y + Z) (X '+ Y + Z)
= XX '+ XY + XZ + XYY + YY + YZ + X'Z + YZ + ZZ
= 0 + XY + XZ + XYY + YY + YZ + X’Z + YZ + Z
= X (Y + Z) + X '(Y + Z) + Y (1 + Z) + Z
= (Y + Z) (X + X ') + Y (1) + Z
= (Y + Z) (0) + Y + Z
= वाई + जेड
उपरोक्त अंतिम अभिव्यक्ति अभी भी उत्पाद के रूप में सम के रूप में है, हालांकि, यह गैर-विहित के रूप में है।

३)। रकम का न्यूनतम उत्पाद

यह राशि के उत्पाद की सबसे सरल अभिव्यक्ति है, और यह एक प्रकार का गैर-विहित भी है। इस प्रकार की कैन को बूलियन बीजगणितीय प्रमेयों के साथ सरल बनाया जाता है, हालांकि यह केवल के-मैप (कर्णघ मानचित्र) का उपयोग करके किया जाता है।

यह प्रपत्र इनपुट लाइनों की संख्या के कारण चुना गया है और इसमें गेट का उपयोग न्यूनतम है। यह कम निर्माण मूल्य के साथ, अपने ठोस आकार, त्वरित गति के कारण लाभदायक है।

आइए कैनोनिकल फॉर्म फ़ंक्शन और उदाहरण का एक उदाहरण लें रकम K मानचित्र का उत्पाद है

पीओएस के-मैप

पीओएस के-मैप

के-मैप पर आधारित इस की अभिव्यक्ति होगी

F = (Y + Z) (X '+ Y')

योग के उत्पाद का योजनाबद्ध डिजाइन

योग के उत्पाद की अभिव्यक्ति दो स्तरों OR- और डिज़ाइन को निष्पादित करती है और इस डिज़ाइन को OR गेट्स और एक AND गेट के संग्रह की आवश्यकता होती है। योग के उत्पाद की प्रत्येक अभिव्यक्ति में समान डिजाइनिंग है।

पीओएस की योजनाबद्ध डिजाइन

पीओएस की योजनाबद्ध डिजाइन

आदानों की संख्या और AND गेट की संख्या उस अभिव्यक्ति पर निर्भर करती है जिस पर वह अमल कर रहा है। OR-AND गेट का उपयोग करके उत्पाद और विहित अभिव्यक्ति की न्यूनतम राशि के लिए डिज़ाइन ऊपर दिखाया गया है।

इस प्रकार, यह सब के बारे में है विहित रूप : Sums के उत्पाद और Sums के उत्पाद, योजनाबद्ध डिज़ाइन, K-map इत्यादि, उपरोक्त जानकारी से अंत में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक बूलियन अभिव्यक्ति में पूरी तरह से किसी भी प्रकार का मिनरल होता है अन्यथा मैक्सिमम को विहित अभिव्यक्ति के रूप में नामित किया जाता है। यहाँ आपके लिए एक सवाल है, विहित भाव के दो रूप क्या हैं?